常微分方程在数学建模中的应用 -

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x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0 . (4.11)

方程(4.10)和模型(4.11)的图形见图4-2和图4-3.图4-3是一条S形曲线,x的增加是先快后慢.当t??时,x?xm,拐点在x?xm处. 2

图4-2 图4-3

(2)对人口阻滞增长模型的检验

下面我们应用人口阻滞增长模型(4.11)对美国人口的增长进行预测。 由于模型(4.11)不能线性化,因此不能运用线性回归分析理论进行参数估计,我们不用(4.11)式,而将方程(4.10)表示为

y?令y?dxr. (4.12) ?r?sx,s?xdtxmdx,则(4.12)式线性化为 xdt y?r?sx. (4.13) 由表4-3可以直接得到x的数据,而y的数据可根据表4-3中数据运用数值微分的方法算出.在此基础上,应用第三单元中线性回归分析的理论即可估计出模型(4.13)中参数r和xm,而模型(4.13)中参数r和xm的估计值,也是模型(4.11)中参数r和xm的估计值.

运用上述方法,并且仅利用表4-2中1860年至1990年的数据,建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型

x?392.0886. (4.14) ?0.2557t1?101.5355e 15

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其中x的单位为百万人,t的单位为10年.

应用预测模型(4.14)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算,并与实际人口相比较,结果见表4-4.

表4-4

1770 1800

5.3 5.0

1810 7.2 6.5 1920

1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 9.6 8.3

12.9 10.7

17.1 13.7

23.2 17.5

31.4 22.3

38.6 28.3

50.2 62.9 35.8 45.0

实际人口 3.9 计算人口 3.9 年

1900 1910 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123.2 103.9

131.7 124.5

150.7 147.2

179.3 171.3

204.0 196.2

226.5 221.2

251.4 245.3

281.4 266.2

实际人口 76.0 92.0 106.5

计算人口 56.2 69.7 85.5

由表4-4可见,用预测模型(4.14)对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算,除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外,其余部分拟合的都不错. 5 小结 通过上述几章对常微分方程、数学模型、以及常微分方程模型在数学建模中应用的介绍,我们发现一切数学理论的产生都是为了解决实际应用过程中的问题.而一切数学模型的建立,都是为了更好的指导数学理论在实际生活中的应用.常微分方程的出现、以及常微分方程在数学建模中的应用,就是为了更好地使普通人理解数学理论,并更好的解决实际问题.

目前,数学模型己经广泛应用于社会的各个领域,人们追求定量分析和优化决策,这都离不开数学模型.数学模型是为了解决现实问题而建立起来的,它能够反映现实,也能够反映现实的内在规律和数量关系.数学模型作为一种模型,必须对现象做出一些必要的简化和假设,首先要忽略现实问题中许多与数量无关的因素.其次还要忽略一些次要的数量因素,从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律.由于建立数学模型可以使用所有的数学工具,现实问题又是多种

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多样的,所以造成数学模型的种类繁多,本文中主要是应用常微分方程这个数学工具来进行数学建模.随着科学技术的发展和社会进步,常微分方程的应用不断扩大和深入.而它的每一步进展都在向数学的其他分支提出需求,需要他们提供相应的定理;同时也向其他数学分支提出问题促其完善,最终促使双方的共同发展.本文主要通过几个实际问题的数学建模,利用一阶常微分方程、二阶常微分方程的求解技巧来求出模型的结果,并且通过分析这个结果来解释现象或提供最佳方案.本文所做的分析只是众多应用中的一个方面,随着现代科学技术的飞速发展,有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景.

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